Whoisにてドメイン検索されますとネームサーバの情報が確認できます。

Whois

ご利用のドメイン名をご入力いただき、検索してください。以下のネームサーバ名が表示されていれば、切替が完了しています。

管理画面-ドメイン管理よりネームサーバ確認ができます。
左メニュー[ドメイン管理]→該当のドメインの右側にある[v]マーク→[NS確認]タブ→[WHOIS確認]をクリックします。
ネームサーバ一覧の枠内に以下のネームサーバ名が表示されていれば、切替が完了しています。

新サーバにアップロードしてあるデータに、目印を付けて確認する方法もございます。
例）フッターに***などマークを追加しておく。それが表示されれば、新サーバのデータが表示されていることになります。